SESTO ENIGMA (CENTRALE) – L’INSOSTENIBILE PESO DEI SOTTOINSIEMI – 20 punti

 

 nastro-matematica

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15 dicembre 2016

L’insostenibile peso

dei sottoinsiemi

centrale

(20 punti)

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Ecco a voi uno stratagemma per mantenere in forma gli insiemi, anche dopo gli eccessi natalizi:

1) Prendete un insieme numerico semplice semplice, come quello mostrato in basso.

insieme-a1-3

2) Considerate tutti i suoi possibili sottoinsiemi e di questi misurate il peso, cioè calcolate la somma degli elementi in essi contenuti (nelle illustrazioni in basso  i rispettivi pesi sono indicati nei riquadri blu).

tabella-insiemi

3) Sommate ora tutti i pesi che avete calcolato: se il totale vi allarma, per un mese alimentate il vostro insieme soltanto a numeri primi! Nel caso considerato ( A = {1,2,3} ) abbiamo  ottenuto un totale di  6+1+3+4+2+3+5+0 = 24: si tratta di un insieme snello e in forma, beato lui.

Se l’esercizio vi è piaciuto, siete pronti ad affrontare l’Enigma: si tratta di eseguire le stesse identiche operazioni, stavolta sull’insieme A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Se la cosa vi sembra fin troppo semplice, considerate che in questo caso l’insieme ha più di mille sottoinsiemi! Abbandonate quindi il pallottoliere e cercate di pesare l’insieme passando dal camino.

insieme-a1-10

Riepilogando, l’enigma recita…

Che valore si ottiene sommando fra loro gli elementi presenti in tutti i possibili sottoinsiemi di A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ?

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Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello per la soluzione e porta il foglio in vicepresidenza dove verrà registrata l’ora della consegna.

coppa piccola

Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

SESTO ENIGMA (CENTRALE) – L’INSOSTENIBILE PESO DEI SOTTOINSIEMI – 20 punti

LA DISFIDA DEL MAJORANA (sede centrale) – Somme impossibili

mascietto e femminuccia disfida quater

Dove non può il fotofinish, riesce solo la disfida! In basso il quesito per i duellanti di VDs, primi a parimerito all’Enigma “L’orologio svelato” (della sede centrale).

somme impossibili

In un sacchetto stanno 7 piccole biglie colorate, ciascuna numerata in modo diverso: 1, 3, 5, 10, 20, 42 e 89. Ad ogni turno bisogna estrarre in un sol colpo una, due, tre, quattro, cinque, sei o anche tutte e sette le biglie e poi calcolare la somma dei numeri riportati sulle sfere.

palline

Così ad esempio estraendo il “3”, il “5” e il “42” si ottiene 50 (3+5+42 fa appunto 50). Un’altra possibile estrazione è quella costituita dalla sola pallina “1”, la cui somma è banalmente 1, mentre la pesca “totale” genera la somma 1+3+5+10+20+42+89=170.

L’insieme {1,3,5,10,20,42,89} non è stato scelto a caso: esso è strutturato in modo tale da rendere impossibile ottenere due volte la stessa somma usando biglie diverse. Non è però detto che tutte le somme da 1 a 170 siano effettivamente costruibili, come mostrano gli esempi 2 o 7 (basta ragionarci un po’). La domanda riguarda proprio le somme impossibili:

Tra 1 e 170, quanti valori NON possono essere espressi come somma di numeri estratti da un’urna contenente gli interi 1, 3, 5, 10, 20, 42, 89?

(sarebbe folle provare tutti i casi, la soluzione si trova con un calcolo indiretto)
LA DISFIDA DEL MAJORANA (sede centrale) – Somme impossibili

QUINTO ENIGMA (SUCCURSALE) – L’OROLOGIO SVELATO – 10 punti

 

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nastro-matematica

6 dicembre 2016

L’orologio svelato

succursale

(10 punti)

Dopo innumerevoli enigmi incentrati sul famigerato orologio del Majorana, eccone svelati i complicatissimi meccanismi. Iniziamo da una differenza squisitamente sonora: contrariamente agli altri orologi, tutti accomunati dal proverbiale tic-tac, al Majorana si incede sobriamente di soli tic, corrispondenti ciascuno all’avanzamento minimo di una ruota dentata.

Le rotelle sono quattro (da 25, 20, 10 e 6 denti), tutte mostrate in basso. Attenzione però, il disegno non è in scala: la ruota maestra, che conta 25 denti, è infatti molto più grande della rotellina da 6.

 denti25  denti20
 denti10  denti6

Per capire bene il meccanismo, è utile soffermarsi sui due fermoimmagine proposti in basso, corrispondenti all’accensione dell’orologio e alla posizione delle rotelle dopo esattamente 3 tic (avvertenza: nel secondo disegno, l’inclinazione della rotella da 25 denti non è esattamente di 45 gradi).

ingranaggi

ingranaggi_2

Come si vede tutto si è mosso, la rotellina da 6 ha addirittura compiuto mezzo giro!

L’Enigma recita…

Dopo quanti tic, la posizione delle singole rotelle è quella mostrata in basso?

(le rotelle da 25, 10 e 6 denti sono tutte nella posizione iniziale, mentre quella da 20 denti è perfettamente capovolta)

ingranaggi_3

Nota bene: nella soluzione va riportato il numero minimo di tic necessari a raggiungere la posizione indicata.

Se pensi di aver risolto il rompicapo, compila il modello per la soluzione e porta il foglio in sala insegnanti: qui qualcuno registrerà l’ora di consegna, firmerà il modello e lo metterà nell’apposita scatola.

coppa piccola

Al primo risolutore 10 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

QUINTO ENIGMA (SUCCURSALE) – L’OROLOGIO SVELATO – 10 punti

QUINTO ENIGMA (CENTRALE) – L’OROLOGIO SVELATO – 10 punti

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nastro-matematica

5 dicembre 2016

L’orologio svelato

sede centrale

(10 punti)

Dopo innumerevoli enigmi incentrati sul famigerato orologio del Majorana, eccone svelati i complicatissimi meccanismi. Iniziamo da una differenza squisitamente sonora: contrariamente agli altri orologi, tutti accomunati dal proverbiale tic-tac, al Majorana si incede sobriamente di soli tic, corrispondenti ciascuno all’avanzamento minimo di una ruota dentata.

Le rotelle sono quattro (da 72, 50, 30 e 21 denti), tutte mostrate in basso. Attenzione però, il disegno non è in scala: la ruota maestra, che conta 72 denti, è infatti molto più grande della rotellina da 21.

 cdenti72  cdenti50
 cdenti30  cdenti21

Per capire bene il meccanismo, è utile soffermarsi sui due fermoimmagine proposti in basso, corrispondenti all’accensione dell’orologio e alla posizione delle rotelle dopo esattamente 7 tic.

c0bn

c7bn

Come si vede tutto si è mosso, la rotellina da 21 ha addirittura compiuto un terzo di giro!

L’Enigma recita…

Dopo quanti tic, la posizione delle singole rotelle è quella mostrata in basso?

(le rotelle da 50, 30 e 21 denti sono tutte nella posizione iniziale, mentre quella da 72 denti è perfettamente capovolta)

cxbn

Nota bene: nella soluzione va riportato il numero minimo di tic necessari a raggiungere la posizione indicata.

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello per la soluzione e porta il foglio in vicepresidenza dove verrà registrata l’ora della consegna.

coppa piccola

Al primo risolutore 10 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

QUINTO ENIGMA (CENTRALE) – L’OROLOGIO SVELATO – 10 punti