ULTIMO ENIGMA (CENTRALE) – IL TRIFOGLIO IRREGOLARE – 20 punti

 

 fascia-matematica

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femminuccia-png

10 aprile 2017

Il trifoglio irregolare

centrale

(20 punti)

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maschietto-png

Tre circonferenze di raggio r , centri  A,B,C  e non tangenti fra loro, si intersecano tutte in un punto P, interno al triangolo . Le circonferenze formano, a coppie, ulteriori 3 punti d’intersezione D,E,F, generando la figura a forma di trifoglio irregolare mostrata in basso.

problema base

La domanda è:

Quanto misura il perimetro del trifoglio?

Nota bene: come mostrato in figura, la posizione reciproca delle circonferenze non gode di nessuna particolare simmetria. Il “perimetro” citato nel quesito è l’insieme dei tre archi di circonferenza esterni FD, DE e EF.

La risposta deve essere un’espressione che contenga, oltre ad  r, operazioni, numeri interi e altri  simboli matematici, ma NON cifre decimali con la virgola.

Per risolvere l’Enigma è conveniente considerare le proposizioni sottostanti di facile dimostrazione  (in tutti i casi con AP si è indicata l’ampiezza dell’angolo piatto):

La misura di un arco di circonferenza di raggio r  che insiste su un angolo alpha al centro, vale  pi*r*alpha/AP.

arco che insiste su un angolo

La misura  di un insieme di archi contigui di circonferenze (tutte di raggio r), definiti da vari angoli al centro, vale  pi*r*S/AP, dove S  è la somma degli angoli al centro.

arco che insiste su un angolo_2

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello per la soluzione e porta il foglio in vicepresidenza dove verrà registrata l’ora della consegna.

coppa-png

Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

ULTIMO ENIGMA (CENTRALE) – IL TRIFOGLIO IRREGOLARE – 20 punti

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