Undicesimo Enigma – MAGIE ALGEBRICHE

11 marzo 2019 Magie algebriche (20 punti)

Tutti conoscono i semplici polinomi in una sola variabile, ma pochi di voi hanno avuto la fortuna di incrociare le loro controparti illimitate, le affascinanti serie di potenze: si tratta di somme algebriche composte da infiniti monomi. Per apprezzarle appieno conviene studiare gli esempi in basso: tutte le espressioni elencate contengono monomi ordinati per grado, a fianco di ciascuna è descritta la regola che definisce i suoi infiniti coefficienti.

• Serie Geometrica G: 1 + x + x² + x³ +… (tutti i coefficienti valgono 1)
• Serie Geo-lineare L: 1 + 2x + 3x² + 4x³ +… (i coefficienti i naturali crescenti 1,2,3,4,..)
• Serie Geo-quadratica Q: 1 + 4x + 9x² + 16x³ +… (i coefficienti i quadrati successivi 1,4,9,16,..)

 

Inserendo al posto di  valori come 2 o anche pi greco, tutte e tre le serie “impazziscono” e restituiscono infinito. Per x=0 le tre serie sono invece tutte uguali a 1, mentre sostituendo a x la frazione ½ si ottengono i valori interi G=2, L=4 e Q=12 (per questo dovete fidarvi della Commissione). In generale e per ogni x per i quali le serie restituiscono numeri finiti, i valori G, L, Q sono legati da semplici relazioni algebriche, come mostrato in basso:

L e G sono legati dalla relazione L=G²

Dimostrazione:  Come si vede in basso, l’espressione G + Gx + Gx² + Gx³ +… è uguale a 1 + 2x + 3x² + 4x³ +… e quindi a L. Del resto se nell’espressione G + Gx + Gx² + Gx³ +… si raccoglie la G si ottiene G(1 + x + x² + x³ +… ) cioè G*G. Resta così provato che L=G²

L’enigma è il seguente:

Trova una relazione algebrica che leghi Q,x e G

La soluzione è un’uguaglianza che può contenere soltanto le quattro operazioni fondamentali, l’elevamento a potenza e le lettere Q,G e x: sono quindi banditi altri simboli (come i puntini) e altre variabili. Andrebbe bene una risposta nella forma Q³=2x+G³-1 verrebbero invece rigettate soluzioni come Q=L⁵ (perché contiene la L) o x²G = G² + G³ + … (per via dei puntini).

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.