enigmi (in concorso)

Undicesimo Enigma – MAGIE ALGEBRICHE

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fascia-matematica

11 marzo 2019

Magie algebriche

(20 punti)

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Tutti conoscono i semplici polinomi in una sola variabile, ma pochi di voi hanno avuto la fortuna di incrociare le loro controparti illimitate, le affascinanti serie di potenze: si tratta di somme algebriche composte da infiniti monomi. Per apprezzarle appieno conviene studiare gli esempi in basso: tutte le espressioni elencate contengono monomi ordinati per grado, a fianco di ciascuna è descritta la regola che definisce i suoi infiniti coefficienti.

  • Serie Geometrica G: 1 + x + x2 + x3 +… (tutti i coefficienti valgono 1)
  • Serie Geo-lineare L: 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +… (i coefficienti i naturali crescenti 1,2,3,4,..)
  • Serie Geo-quadratica Q: 1 + 4x + 9x2 + 16x3 +… (i coefficienti i quadrati successivi 1,4,9,16,..)

 

Inserendo al posto di  valori come 2 o anche pi greco, tutte e tre le serie “impazziscono” e restituiscono infinito. Per x=0 le tre serie sono invece tutte uguali a 1, mentre sostituendo a x la frazione ½ si ottengono i valori interi G=2, L=4 e Q=12 (per questo dovete fidarvi della Commissione). In generale e per ogni x per i quali le serie restituiscono numeri finiti, i valori G, L, Q sono legati da semplici relazioni algebriche, come mostrato in basso:

L e G sono legati dalla relazione L=G2

Dimostrazione:  Come si vede in basso, l’espressione G + Gx + Gx2 + Gx3 +… è uguale a 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +… e quindi a L. Del resto se nell’espressione G + Gx + Gx2 + Gx3 +… si raccoglie la G si ottiene G(1 + x + x2 + x3 +… ) cioè G*G. Resta così provato che L=G2

 

L’enigma è il seguente:

Trova una relazione algebrica che leghi Q,x e G

La soluzione è un’uguaglianza che può contenere soltanto le quattro operazioni fondamentali, l’elevamento a potenza e le lettere Q,G e x: sono quindi banditi altri simboli (come i puntini) e altre variabili. Andrebbe bene una risposta nella forma Q3=2x+G3-1 verrebbero invece rigettate soluzioni come Q=L5 (perché contiene la L) o x2G = G2 + G3 + … (per via dei puntini).

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

 

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