Autore: saltuari

2 marzo 2020 IL MOSTRO CHE NASCONDE IL QUADRATO (20 punti)

Il simbolo matematico n!  si legge “n fattoriale” ed è uguale al prodotto di tutti i numeri da 1 fino a n (ad esempio 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120). Moltiplicando tutti i fattoriali da 1 a 200 si ottiene un numero talmente grande da meritarsi l’appellativo di MOSTRO. In basso l’espressione del MOSTRO, con i puntini a rappresentare i fattoriali intermedi:

Eliminando uno solo dei 200 fattoriali che costituiscono il MOSTRO è possibile ottenere un quadrato perfetto (cioè il quadrato di un numero intero) e ciò si può fare in due modi diversi: a noi interessa l’eliminazione di un fattoriale in posizione dispari, cioè uno dei seguenti: 1!, 3!, 5!, …, 195!, 197!, 199!.

Quale dei 200 fattoriali posti in posizione dispari  bisogna eliminare dal prodotto 1!⋅2!⋅…⋅199!⋅200! per ottenere un quadrato perfetto?

Nota bene: riporta nella risposta il fattoriale da eliminare. Da un punto di vista formale verrebbero accettate risposte come 15! o 197!, verrebbero invece subito rigettate 20! (non è un fattoriale in posizione dispari), 17 (non è un fattoriale), 3!⋅7! (i fattoriali sono più di uno), 299! (non fa parte del MOSTRO).

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

In basso si possono ammirare una circonferenza grande γ_A di centro A e raggio r_A e altre cinque più piccole γ_B, γ_C, γ_D, γ_E, γ_F, di centri e raggi rispettivamente B,C,D,E,F e r_B, r_C, r_D, r_E, r_F, tutte diverse fra loro, internamente tangenti a γ_A ed esternamente tangenti a formare due gruppi separati, { γ_B, γ_C } e { γ_D, γ_E, γ_F }. Il cerchio piccolo γ_E è posto tra i due compagni γ_D e γ_F, il che permette di definire il punto d’intersezione P=EA∩DF.

Di tutta la costruzione è noto ben poco: il perimetro del triangolo ABC, p_ABC = 80cm e i raggi r_D = 18cm e r_F = 11cm. Le restanti misure restano avvolte nel mistero, circostanza sospetta che dà il titolo all’enigma.

Il quesito riguarda i perimetri dei triangoli DPA, EPD, FPE, APF, per la precisione è richiesto di calcolare la loro somma. L’enigma può quindi essere formulato così:

Determina il valore di  p_APD + p_DPE + p_EPF + p_FPA

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3 febbraio 2020 Modestia a parte (20 punti)

“Disegno e storia dell’arte, filosofia, fisica, geografia, italiano, matematica, latino, religione, scienze motorie e scienze naturali, storia”, snocciola in ordine alfabetico e con malcelato compiacimento la Commissione Enigma: “ne so di ogni” gongola fra sé e sé. Superbia? Vanagloria? Megalomania? Nulla in confronto al narcisismo dimostrato dall’oscuro personaggio oggetto dell’indovinello, che così si descrive:

Nessuno può negare che io sia in gamba:

sono un tipo deciso, per me o è bianco o è nero, o è tutto o è nulla.

Per la mia specie, l’origine ha la sua importanza,

ed è anche grazie ad essa che succede quello che deve succedere.

La posizione che occupo è tra le più in vista, avanti a molti altri:

pensate che quattro “capi” lavorano per me.

Io non mi rilasso mai quando vinco!

Chi si sta descrivendo così?

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20 gennaio 2020 I Serpenti Aritmetici (20 punti)

Le quattro sequenze mostrate sopra sono Serpenti Aritmetici, cioè successioni di numeri naturali (0 escluso) rigorosamente consecutivi. È importante sottolineare che fa parte della categoria anche il solitario “21”, nonostante la stazza puntiforme. I quattro serpenti presentati sono tutti e soli quelli la cui somma degli elementi è uguale a 21 (provare per credere); si dice in questo caso che “esistono quattro serpenti di somma 21”.

Ciò detto passiamo all’Enigma: “Quanti sono i serpenti di somma un Megamajorone?”. Cos’è un Megamajorone? Un “1” seguito da un milione di “0”, tanto per dissuadere chi già pensava di fare i conti a mano. Riassumendo…

Quanti Serpenti Aritmetici hanno per somma 10^1.000.000 ?

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