enigmi (in concorso), Enigmi ANNO IN CORSO

Undicesimo Enigma – IL MOSTRO CHE NASCONDE IL QUADRATO

 

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2 marzo 2020

IL MOSTRO CHE NASCONDE IL QUADRATO

(20 punti)

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Il simbolo matematico n!  si legge “n fattoriale” ed è uguale al prodotto di tutti i numeri da 1 fino a n (ad esempio 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120). Moltiplicando tutti i fattoriali da 1 a 200 si ottiene un numero talmente grande da meritarsi l’appellativo di MOSTRO. In basso l’espressione del MOSTRO, con i puntini a rappresentare i fattoriali intermedi:

Microsoft Word - Enigma 511 (020320) - IL MOSTRO CHE NASCONDE IL

Eliminando uno solo dei 200 fattoriali che costituiscono il MOSTRO è possibile ottenere un quadrato perfetto (cioè il quadrato di un numero intero) e ciò si può fare in due modi diversi: a noi interessa l’eliminazione di un fattoriale in posizione dispari, cioè uno dei seguenti: 1!, 3!, 5!, …, 195!, 197!, 199!.

L’Enigma recita…

Quale dei 200 fattoriali posti in posizione dispari  bisogna eliminare dal prodotto 1!⋅2!⋅…⋅199!⋅200! per ottenere un quadrato perfetto?

 

Nota bene: riporta nella risposta il fattoriale da eliminare. Da un punto di vista formale verrebbero accettate risposte come 15! o 197!, verrebbero invece subito rigettate 20! (non è un fattoriale in posizione dispari), 17 (non è un fattoriale), 3!⋅7! (i fattoriali sono più di uno), 299! (non fa parte del MOSTRO).


Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

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Decimo Enigma – ROTONDE IGNORANZE

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17 febbraio 2020

Rotonde ignoranze

(20 punti)

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In basso si possono ammirare una circonferenza grande γA di centro A e raggio rA e altre cinque più piccole γB, γC, γD, γE, γF, di centri e raggi rispettivamente B,C,D,E,F e rB, rC, rD, rE, rF, tutte diverse fra loro, internamente tangenti a γA ed esternamente tangenti a formare due gruppi separati, { γB, γ} e { γD, γE, γ}. Il cerchio piccolo γE è posto tra i due compagni γD e γF, il che permette di definire il punto d’intersezione P=EA∩DF.

Di tutta la costruzione è noto ben poco: il perimetro del triangolo ABC, pABC = 80cm e i raggi rD = 18cm e rF = 11cm. Le restanti misure restano avvolte nel mistero, circostanza sospetta che dà il titolo all’enigma.

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Il quesito riguarda i perimetri dei triangoli DPA, EPD, FPE, APF, per la precisione è richiesto di calcolare la loro somma. L’enigma può quindi essere formulato così:

Determina il valore di  pAPD + pDPE + pEPF + pFPA

Nota bene: la risposta deve essere una breve frase o un valore numerico esatto, verranno rigettate semplici approssimazioni o espressioni contenenti variabili.


Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

 

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Nono Enigma – MODESTIA A PARTE

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3 febbraio 2020

Modestia a parte

(20 punti)

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“Disegno e storia dell’arte, filosofia, fisica, geografia, italiano, matematica, latino, religione, scienze motorie e scienze naturali, storia”, snocciola in ordine alfabetico e con malcelato compiacimento la Commissione Enigma: “ne so di ogni” gongola fra sé e sé. Superbia? Vanagloria? Megalomania? Nulla in confronto al narcisismo dimostrato dall’oscuro personaggio oggetto dell’indovinello, che così si descrive:

Nessuno può negare che io sia in gamba:

sono un tipo deciso, per me o è bianco o è nero, o è tutto o è nulla.

Per la mia specie, l’origine ha la sua importanza,

ed è anche grazie ad essa che succede quello che deve succedere.

La posizione che occupo è tra le più in vista, avanti a molti altri:

pensate che quattro “capi” lavorano per me.

Io non mi rilasso mai quando vinco!

 

Chi si sta descrivendo così?

 


Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

 

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Ottavo Enigma – I SERPENTI ARITMETICI

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20 gennaio 2020

I Serpenti Aritmetici

(20 punti)

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Le quattro sequenze mostrate sopra sono Serpenti Aritmetici, cioè successioni di numeri naturali (0 escluso) rigorosamente consecutivi. È importante sottolineare che fa parte della categoria anche il solitario “21”, nonostante la stazza puntiforme. I quattro serpenti presentati sono tutti e soli quelli la cui somma degli elementi è uguale a 21 (provare per credere); si dice in questo caso che “esistono quattro serpenti di somma 21”.

Ciò detto passiamo all’Enigma: “Quanti sono i serpenti di somma un Megamajorone?”. Cos’è un Megamajorone? Un “1” seguito da un milione di “0”, tanto per dissuadere chi già pensava di fare i conti a mano. Riassumendo…

Quanti Serpenti Aritmetici hanno per somma 101.000.000 ?

 


Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Settimo Enigma – LA BUONA STELLA

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7 gennaio 2020

La buona stella del Majorana

(20 punti)

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I vertici di un quadrato di lato 2cm e i punti medi dei quattro lati, definiscono i centri delle otto circonferenze di raggio 1cm mostrate in basso.

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Colorando zone congruenti con lo stesso colore, si ottiene un risultato gradevole agli occhi e alla mente, la celebre Buona Stella del Majorana, composta da sei tasselli diversi, ripetuti ciascuno chi quattro (A,B,D,E,F), chi otto (C) volte, per un totale di 28 pezzi (nella figura colorata in basso, tasselli congruenti sono indicati con lettere uguali)

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È possibile usare i contorni della Buona Stella e tratteggiare tasselli fra loro adiacenti, evidenziando zone di particolare interesse. In basso è mostrato il caso di una zona di area pi greco che si ottiene tratteggiando due tasselli di tipo C, un A e un F a ricomporre una delle circonferenze iniziali.

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La consegna di questo Enigma è la seguente:

È richiesto di tratteggiare una serie di tasselli adiacenti a formare una zona di area 1 cm2 (considera che la risposta non è unica, anche al netto di rotazioni e riflessioni). 

Nota bene: è possibile trovare la soluzione senza svolgere calcoli.

È importante sottolineare che bisogna tratteggiare tasselli adiacenti delimitati da archi preesistenti; verrebbero quindi immediatamente cestinate risposte come quelle mostrate in basso (indipendentemente dall’area racchiusa).

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Sesto Enigma – LA TASSELLAZIONE DELL’ACQUARIO

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9 dicembre 2019

La tassellazione dell’Acquario

(20 punti)

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Questo Enigma si svolge su una griglia 10×10, detta Acquario, habitat matematico di Anguille e Gamberetti: l’Anguilla è una striscia composta da otto caselle, il Gamberetto è un pezzo a forma di “L”, con tre quadretti messi in fila e una deviazione laterale finale (vedi sotto).

griglia 10x10 copia

Ogni pezzo può essere ruotato di 90°, 180° e 270°, è invece proibitissimo sovrapporre due o più pezzi, spezzarli, allungarli, contrarli, metterli di traverso, ripiegarli su se stessi, uscire dall’Acquario, arrotolare la griglia a forma di tubo o di nastro di Moebius e, in generale, rifugiarsi in una qualsiasi stramberia da furbacchione.

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Qui in alto è mostrato un Acquario molto affollato e scrupolosamente rispettoso di tutte le prescrizioni esposte precedentemente, contraddistinto da soltanto otto caselle scoperte. La consegna di questo Enigma è però molto più impegnativa: ricoprire l’intera griglia, in modo che nessuna casella resti esposta.

Trova una tassellazione composta esclusivamente da Anguille e Gamberetti che ricopra integralmente la griglia 10×10 (leggi in basso come scrivere la soluzione).

Nella risposta da consegnare non sarà necessario riportare l’intera tassellazione, basterà scrivere una breve frase o indicare il numero di pezzi usati (somma di Anguille e di Gamberetti) per ricoprire l’intero Acquario (usando ad esempio 7 Anguille e 11 Gamberetti bisognerebbe rispondere 18).

 


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Quinto Enigma – LA SERIE DELL’ENIGMA

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25 novembre 2019

La serie dell’Enigma

(20 punti)

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Sommando fra loro infiniti termini dal valore ben definito, si genera un oggetto matematico detto serie numerica. Una serie può divergere, cioè andare a infinito, o convergere e assumere un valore finito, fenomeno che si può osservare in un qualsiasi numero periodico (ad esempio “un decimo più un centesimo più un millesimo più…” altro non è cheun nono”) . Ecco un brevissimo elenco di serie numeriche celebri:

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I ricercatori dell’Enigma del Majorana, seccati di non essere in elenco e ispirati da Pietro Mengoli, hanno elaborato la seguente serie, della cui convergenza sono assolutamente certi:

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Il problema recita…

A quale valore converge la serie dell’Enigma? (conviene leggere la nota in basso)

 

La soluzione deve essere un’espressione numerica esatta o una breve frase, sono invece bandite approssimazioni o espressioni letterali (verrebbero quindi formalmente accettate espressioni come “la serie diverge”, “pi greco settimi”  e rigettate risposte come “1,2…” o “x²+1”).

Per risolvere questo problema non è necessaria alcuna competenza specifica in fatto di serie numeriche, bisogna però essere molto creativi e versati nei calcoli con le frazioni. Soprattutto è utile sapere che la serie di Mengoli (messa in evidenza nell’elenco sovrastante) converge a un valore finito (non è invece fondamentale sapere che questo valore sia 1).

 


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