Ottavo Enigma – MAJORINO EQUIVICINO

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28 gennaio 2019

Majorino Equivicino

(20 punti)

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Come corre Majorino e con che grazia: la sua specialità è di mantenersi sempre alla stessa distanza fra due oggetti. Guardatelo filare dritto come un fuso fra due rette e fra due punti (figure 1 e 2) e ammiratelo mentre traccia con disinvoltura un arco di parabola fra un punto e una retta (figura 3).

Stampa Percorso fra due rette (bisettrice)
Stampa Percorso fra due punti (asse)
Stampa Percorso fra un punto e una retta

Rette e punti non sono che l’antipasto: Majorino dà il meglio di sé nello slalom, quando incontra oggetti a due dimensioni, dovendo così alternare tratti curvi e rettilinei. Prendete il caso rappresentato in basso:

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Quanti diversi tratti rettilinei sono contenuti nel percorso rappresentato in alto?

Nota bene: la risposta alla domanda è un numero o una breve frase: ricordo che è richiesto di contare soltanto i diversi tratti rettilinei (i tratti curvilinei non vanno conteggiati).

Avvertenza: non è possibile rispondere analizzando direttamente la traiettoria in figura, si tratta infatti di uno schizzo poco accurato. Il quadrato e il triangolo sono invece riportati con assoluta precisione in tutti i loro aspetti (forma, dimensione e posizione reciproca) e la griglia sullo sfondo permette di evitare qualsiasi ambiguità. Infine ricordo che, per definire la distanza fra un punto P e una figura geometrica f, si considera semplicemente il punto di f più vicino a P.

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

Ottavo Enigma – MAJORINO EQUIVICINO

Settimo Enigma – I POLIGIRI

 

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14 gennaio 2019

I Poligiri

(20 punti)

 

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Esagono regolare, quadrato e triangolo equilatero sono nuclei di poligiri, cioè poligoni regolari intorno ai quali è possibile disporre una serie di altri poligoni, in modo da rispettare le seguenti tre semplici regole:

1 – Esiste un poligono interno ed è regolare

2 – I poligoni esterni sono tutti regolari e identici fra loro

3 – In ogni vertice del poligono interno insistono gli angoli di esattamente tre poligoni a coprire l’intero angolo giro (vedi disegno sottostante).

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Vediamo di seguito una collezione di 3 poligiri:

Stampa Poligiro 6 – 6

Esagono (6) circondato da esagoni (6)

Stampa Poligiro 4 – 8

quadrato (4) circondato da ottagoni (8)

Stampa Poligiro 3 – 12

triangolo (3) circondato da dodecagoni (12)

Esistono complessivamente quattro diversi poligiri e i primi tre sono rappresentati sopra.

Com’è fatto il quarto poligiro?

Riporta la soluzione nella forma XY, dove X è il numero dei lati del poligono interno e Y quello di uno dei poligoni esterni (che, ricordo, sono identici fra loro).

Per risolvere l’Enigma potrebbe essere utile conoscere il seguente teorema:

Siano x, y, A, B quattro numeri interi diversi da 0 e legati dall’equazione Ax=By. Se x e y non hanno divisori in comune (diversi da 1), allora sicuramente x è un divisore di B e y è un divisore di A.

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

 

Settimo Enigma – I POLIGIRI

Sesto Enigma – UN TOTALE

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17 dicembre 2018

Un totale

(20 punti)

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Dato un insieme, considera tutti i suoi possibili sottoinsiemi e di questi calcola il prodotto degli elementi (l’esempio in basso riguarda l’insieme A). È importante osservare che il prodotto degli elementi dell’insieme vuoto (ultimo disegno in basso) è posto uguale a 0.

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Sommando ora tutti i prodotti calcolati sopra, si ottiene un numero detto Totale dell’insieme. Nel caso di A si ha 30+10+6+15+2+5+3+0=71 e quindi il Totale di A vale 71.

L’esempio mostrato ci permette di dare la definizione rigorosa:

Dato un insieme A, si chiama Totale di A  la somma dei prodotti degli elementi di tutti i sottoinsiemi di A (il prodotto degli elementi è 0 nel caso dell’insieme vuoto).

Quanto vale il Totale di {2,3,4,5,6,7,8,9,10}?

Nota bene: per rispondere alla domanda sarebbe folle eseguire tutti i calcoli previsti dalla definizione. L’insieme {2,3,4,5,6,7,8,9,10} ha infatti più di 500 sottoinsiemi e il Totale richiesto vale poco meno di 20 milioni.

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

Sesto Enigma – UN TOTALE

Quarto Enigma – GLI AUTARCHICI

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19 novembre 2018

Gli autarchici

(20 punti)

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Spocchiosi e supponenti, i gruppi autarchici  guardano tutti dall’alto in basso. Prendete la collezione numerica A3 = (5/2, 1, 1/2) e combinate i suoi elementi in somme e sottrazioni, tenendo fisso soltanto il numero maggiore (cioè 5/2). Otterrete un risultato sorprendentemente ordinato, vanto di A3 e dei suoi altezzosi compagni.

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Un gruppo autarchico più piccolo è A3 = (3/2, 1/2) , che, superbo (nonostante la stazza), produce i seguenti interi:

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In generale il gruppo autarchico An è una collezione ordinata di n numeri positivi che, combinati in somme e sottrazioni (mantenendo fisso soltanto l’elemento maggiore), generano un 1 e una serie di interi successivi, senza ripetizioni.

A voi il compito di trovare niente-di-meno-che il gruppo autarchico A5.

Aiuto: è opportuno disporre gli elementi in ordine decrescente (cioè dal maggiore al minore). In questo modo i gruppi autarchici sfoggiano la seguente notevole proprietà: ogni numero è maggiore della somma dei successivi, cioè se A5 = (a,b,c,d,e) , allora  a>(b+c+d+e) , b>(c+d+e) , c>(d+e) e  d>e.

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Quarto Enigma – GLI AUTARCHICI

Terzo Enigma – IL FIORE DEL MAJORANA

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29 ottobre 2018

Il fiore del Majorana

(20 punti)

 

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Ammirate le tre figure colorate in basso con le lettere P, S, R a indicare le rispettive aree.


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P = area del pentagono di lato 1

 

 


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S = area della stella contenuta nel pentagono precedente

 

 


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R = area del pentagono contenuto nella stella precedente

 

 


 

Circonferenze, intersezioni e pollice verde permettono di ingentilire tutti i pentagoni e le stelle, e creare il magnifico fiore del Majorana, vanto del giardino matematico della scuola.

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Come si vede, il fiore del Majorana è delimitato dagli archi di cinque circonferenze di raggio 1, centrate nei vertici del primo pentagono regolare mostrato nell’introduzione.

Trova una formula che permetta di calcolare l’area del fiore in funzione di P, S, R (presta attenzione alle indicazioni sottostanti).

La soluzione è un’espressione che può contenere, oltre alle lettere P, S, R, numeri di qualsiasi genere come ad esempio π, √2, 3/2,… Una risposta formalmente ricevibile potrebbe essere πR-(S+P)*√7, mentre un’espressione del tipo 2(P+S+R)-3x  verrebbe immediatamente rigettata (per la presenza della lettera “misteriosa” x).

 

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

Terzo Enigma – IL FIORE DEL MAJORANA

Secondo Enigma – REBUS INGLESE – ITALIANO

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15 ottobre 2018

Rebus Inglese – Italiano

(20 punti)

 

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rebus-esempio-nerobiancoPer il secondo indovinello dell’anno, la commissione Enigma rispolvera il Rebus angloitaliano: le parole raffigurate sono in inglese, la frase risultante in italiano. Per chi avesse dei dubbi, a fianco è mostrato un esempio chiarificatore: SALT+OIL+PAST+”o” e quindi la soluzione SALTO IL PASTO.

Se avete capito le regole, è ora di cimentarvi con il rompicapo in basso: un occhio all’italiano, un occhio all’inglese e il terzo occhio al codice della strada. E ricordate: “scripta manent”!

REBUS (5,5,1,6,5)

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Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

 

 

Secondo Enigma – REBUS INGLESE – ITALIANO

Primo Enigma – LA PALLINA INTRUSA

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1 ottobre 2018

La pallina intrusa

(20 punti)

 

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Immaginate di avere a disposizione una bilancia a due bracci, nove palline identiche fra loro e poi una decima, impercettibilmente più pesante delle altre: come mostrato in basso, con sole tre pesate è possibile trovare l’intrusa sovrappeso (considerate inoltre che la strategia presentata non è l’unica possibile)

PRIMA PESATA – 5 palline su un piatto e 5 sull’altro (con questa pesata il numero delle possibilità si riduce sempre a 5).

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SECONDA PESATA – Si prende in prestito una pallina delle 5 scartate prima e poi si dispongono 3 palline per piatto (dopo la pesata il numero di possibilità si ridurrà a 3).

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TERZA PESATA – Delle tre palline da analizzare, se ne mette una sul piatto di sinistra e una sul piatto di destra (quella scartata non si pesa affatto) (con questa pesata sarà sempre possibile trovare l’intrusa, in caso di equilibrio si tratta proprio della pallina scartata).

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Ebbene, risolta la questione delle 10 palline, si potrebbe aggiungerne una e poi un’altra ancora e vedere fino a quando il problema ha una soluzione generale. Ed eccovi servito l’Enigma:

 

Quale è il numero massimo di palline per il quale è sempre possibile scovare l’intrusa con tre pesate?

 

Nota bene: il numero di palline comprende anche la pallina più pesante. Il caso illustrato in alto rappresentava infatti il problema “delle 10 palline” (nove più l’intrusa).

 

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

 

Primo Enigma – LA PALLINA INTRUSA