Categoria: enigmi (in concorso)

30 settembre 2019 Zigozago il distratto (20 punti)

Zigzagando tra due rette parallele, la nervosa traiettoria mostrata in basso, chiusa e composta da 14 segmenti, delimita nove zone, qualcuna triangolare, qualcun’altra quadrilatera.

 

Il dottor Zigozago, un geometra certosino membro orgoglioso della Commissione Enigma, ha calcolato le varie aree e ha pensato bene di riportare i valori in figura, ciascuno nel suo tondino. Certo, pare proprio che il rigorosissimo collega abbia dimenticato di riportare l’ultimo valore. L’Enigma recita…

Alla luce dei dati forniti, quanto vale l’area dell’ultima zona? (vedi le indicazioni in basso)

Nota bene: il disegno sovrastante rispecchia i valori riportati nei tondini soltanto in prima approssimazione. In questo problema è però richiesto il valore esatto, non sono cioè ammesse semplici approssimazioni, né espressioni letterali. Formalmente andrebbero bene risposte come “cinque” o “pi greco più sette mezzi” verrebbero invece subito rigettate riposte come “6,64..” o “x2-1“.

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Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

25 marzo 2019 Dieci piccoli romani (20 punti)

A far economia di simboli si rischia di fare un po’ di confusione. Prendete XXXIV: uno legge 34, l’altro 80, il terzo ci vede un 140 e non c’è verso di dar torto a qualcuno!

Se poi si tratta di uguaglianze, il dibattito s’infiamma ancora di più. Prendete l’uguaglianza scritta in basso, che a guardarla così, pare uno strafalcione di prima categoria:

Nonostante tutto, aguzzando vista e ingegno, ecco comparire un’identità a prova di perfettino.

Ed eccovi servito l’Enigma:

Esistono ben otto modi per risistemare l’uguaglianza scritta in alto: una l’avete appena vista, a voi il compito di trovarne altre due (leggi in basso le avvertenze).

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Riporta nella risposta le uguaglianze (corrette) tradotte in cifre arabe, così come mostrato nell’esempio: 30 = 720 – 30 + 30 – 540 – 100 – 50.

Nota bene: per risolvere l’Enigma devi conoscere bene l’ortografia dei numeri romani. A titolo di esempio, la combinazione IXX non è 19, dal momento che 19 si scrive in un altro modo (XIX).

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11 marzo 2019 Magie algebriche (20 punti)

Tutti conoscono i semplici polinomi in una sola variabile, ma pochi di voi hanno avuto la fortuna di incrociare le loro controparti illimitate, le affascinanti serie di potenze: si tratta di somme algebriche composte da infiniti monomi. Per apprezzarle appieno conviene studiare gli esempi in basso: tutte le espressioni elencate contengono monomi ordinati per grado, a fianco di ciascuna è descritta la regola che definisce i suoi infiniti coefficienti.

• Serie Geometrica G: 1 + x + x² + x³ +… (tutti i coefficienti valgono 1)
• Serie Geo-lineare L: 1 + 2x + 3x² + 4x³ +… (i coefficienti i naturali crescenti 1,2,3,4,..)
• Serie Geo-quadratica Q: 1 + 4x + 9x² + 16x³ +… (i coefficienti i quadrati successivi 1,4,9,16,..)

 

Inserendo al posto di  valori come 2 o anche pi greco, tutte e tre le serie “impazziscono” e restituiscono infinito. Per x=0 le tre serie sono invece tutte uguali a 1, mentre sostituendo a x la frazione ½ si ottengono i valori interi G=2, L=4 e Q=12 (per questo dovete fidarvi della Commissione). In generale e per ogni x per i quali le serie restituiscono numeri finiti, i valori G, L, Q sono legati da semplici relazioni algebriche, come mostrato in basso:

L e G sono legati dalla relazione L=G²

Dimostrazione:  Come si vede in basso, l’espressione G + Gx + Gx² + Gx³ +… è uguale a 1 + 2x + 3x² + 4x³ +… e quindi a L. Del resto se nell’espressione G + Gx + Gx² + Gx³ +… si raccoglie la G si ottiene G(1 + x + x² + x³ +… ) cioè G*G. Resta così provato che L=G²

L’enigma è il seguente:

Trova una relazione algebrica che leghi Q,x e G

La soluzione è un’uguaglianza che può contenere soltanto le quattro operazioni fondamentali, l’elevamento a potenza e le lettere Q,G e x: sono quindi banditi altri simboli (come i puntini) e altre variabili. Andrebbe bene una risposta nella forma Q³=2x+G³-1 verrebbero invece rigettate soluzioni come Q=L⁵ (perché contiene la L) o x²G = G² + G³ + … (per via dei puntini).

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25 febbraio 2019 La cromomatematica   (20 punti)

L’Aritmetica vi sembra incolore, l’Algebra s’ammanta di grigio e la Logica è tutta “o bianco o nero”? Non vi perdete d’animo, la Cromomatematica vi farà cambiare idea! Considerate prima di tutto i seguenti assiomi:

• Tutti i numeri naturali (dallo 0 in poi ) sono rossi, verdi o gialli
• Nessun numero ha più di un colore
• 2019 è un numero verde
• La somma di due numeri verdi è un numero rosso
• La somma di due numeri rossi è un numero verde
• Due numeri gialli non possono essere consecutivi

Come ogni teoria che si rispetti, la Cromomatematica non vive di soli assiomi: fioccano le proposizioni, abbondando i teoremi, zampillano ovunque lemmi e corollari. Fra i tanti risultati ve n’è uno che riguarda il 1000, protagonista di questo iridescente Enigma:

La domanda è…

Di che colore è il mille?

Nota bene: la risposta al quesito è un colore (rosso, verde o giallo) o una breve frase.

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11 febbraio 2019 Enigma di Religione (20 punti)

Codici indecifrabili, intrighi millenari, simbolismi criptici e profezie sepolte negli archivi … Se vi piacciono i arzigogoli più macchiavellici, gli intrichi più leonardeschi, i dilemmi più amletici, l’Enigma di Religione è ciò che fa per voi: un rompicapo teologico che soltanto il sommo biblista della commissione Enigma poteva ideare.

 

Usando l’antico calendario, in cui ogni mese ha trenta giorni,

profetizzò Daniele un tempo simbolico di molti giorni

che sarebbero trascorsi fino al giunger della nuova era

con la venuta del Messia.

All’arrivo del Messia dai cristiani fu trasposta l’antica profezia.

Or tu, del Majorana studente,

somma i giorni dal concepimento del Battista e quello di Gesù

aggiungendo i giorni dalla nascita a Betlemme del Messia

fino alla presentazione al tempio per la purificazione della puerpera (visiona Lv 12,1-4 senza includere gli 8 giorni della circoncisione del bambino)

… e il numero di giorni dell’antica profezia realizzato scorgerai…

… non ti resta che sommarlo alla numerazione degli eventi già citati

che la narrazione ha tramandato….

… e la cifra misteriosa avrai trovato

 

Nota bene: il numero richiesto non è intero. Scrivi nella soluzione le tre cifre della parte intera e le due cifre dopo la virgola

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	28 gennaio 2019 Majorino Equivicino (20 punti)

Come corre Majorino e con che grazia: la sua specialità è di mantenersi sempre alla stessa distanza fra due oggetti. Guardatelo filare dritto come un fuso fra due rette e fra due punti (figure 1 e 2) e ammiratelo mentre traccia con disinvoltura un arco di parabola fra un punto e una retta (figura 3).

Percorso fra due rette (bisettrice)

Percorso fra due punti (asse)

Percorso fra un punto e una retta

Rette e punti non sono che l’antipasto: Majorino dà il meglio di sé nello slalom, quando incontra oggetti a due dimensioni, dovendo così alternare tratti curvi e rettilinei. Prendete il caso rappresentato in basso:

Quanti diversi tratti rettilinei sono contenuti nel percorso rappresentato in alto?

Nota bene: la risposta alla domanda è un numero o una breve frase: ricordo che è richiesto di contare soltanto i diversi tratti rettilinei (i tratti curvilinei non vanno conteggiati).

Avvertenza: non è possibile rispondere analizzando direttamente la traiettoria in figura, si tratta infatti di uno schizzo poco accurato. Il quadrato e il triangolo sono invece riportati con assoluta precisione in tutti i loro aspetti (forma, dimensione e posizione reciproca) e la griglia sullo sfondo permette di evitare qualsiasi ambiguità. Infine ricordo che, per definire la distanza fra un punto P e una figura geometrica f, si considera semplicemente il punto di f più vicino a P.

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	14 gennaio 2019 I Poligiri (20 punti)

Esagono regolare, quadrato e triangolo equilatero sono nuclei di poligiri, cioè poligoni regolari intorno ai quali è possibile disporre una serie di altri poligoni, in modo da rispettare le seguenti tre semplici regole:

1 – Esiste un poligono interno ed è regolare

2 – I poligoni esterni sono tutti regolari e identici fra loro

3 – In ogni vertice del poligono interno insistono gli angoli di esattamente tre poligoni a coprire l’intero angolo giro (vedi disegno sottostante).

Vediamo di seguito una collezione di 3 poligiri:

Poligiro 6 – 6 Esagono (6) circondato da esagoni (6)

Poligiro 4 – 8 quadrato (4) circondato da ottagoni (8)

Poligiro 3 – 12 triangolo (3) circondato da dodecagoni (12)

Esistono complessivamente quattro diversi poligiri e i primi tre sono rappresentati sopra.

Com’è fatto il quarto poligiro?

Riporta la soluzione nella forma XY, dove X è il numero dei lati del poligono interno e Y quello di uno dei poligoni esterni (che, ricordo, sono identici fra loro).

Per risolvere l’Enigma potrebbe essere utile conoscere il seguente teorema:

Siano x, y, A, B quattro numeri interi diversi da 0 e legati dall’equazione Ax=By. Se x e y non hanno divisori in comune (diversi da 1), allora sicuramente x è un divisore di B e y è un divisore di A.

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	17 dicembre 2018 Un totale (20 punti)

Dato un insieme, considera tutti i suoi possibili sottoinsiemi e di questi calcola il prodotto degli elementi (l’esempio in basso riguarda l’insieme A). È importante osservare che il prodotto degli elementi dell’insieme vuoto (ultimo disegno in basso) è posto uguale a 0.

Sommando ora tutti i prodotti calcolati sopra, si ottiene un numero detto Totale dell’insieme. Nel caso di A si ha 30+10+6+15+2+5+3+0=71 e quindi il Totale di A vale 71.

L’esempio mostrato ci permette di dare la definizione rigorosa:

Dato un insieme A, si chiama Totale di A  la somma dei prodotti degli elementi di tutti i sottoinsiemi di A (il prodotto degli elementi è 0 nel caso dell’insieme vuoto).

Quanto vale il Totale di {2,3,4,5,6,7,8,9,10}?

Nota bene: per rispondere alla domanda sarebbe folle eseguire tutti i calcoli previsti dalla definizione. L’insieme {2,3,4,5,6,7,8,9,10} ha infatti più di 500 sottoinsiemi e il Totale richiesto vale poco meno di 20 milioni.

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.	3 dicembre 2018 Caput fractum “Per un cantiere più sicuro” (20 punti)	.

Giunti al quinto Enigma, è tempo di rinnovare la tradizione del Caput fractum, il famigerato rebus latino-italiano. Le regole sono più che note: gli oggetti, le azioni o i concetti descritti nei riquadri, letti da sinistra verso destra, vanno scritti in latino e poi riuniti a formare una frase in italiano. Per chi avesse dei dubbi, in basso è mostrato un esempio: “so” + VENTER + ”ussa” diventa SOVENTE RUSSA (la coppia 7, 5 sta a indicare il numero di lettere delle parole della soluzione, mentre la frase “Quando dorme” è un indizio sulla frase risultante).

Capite le regole, non resta che cimentarsi con il rompicapo vero e proprio:

REBUS 9, 2, 5, 10 – “Per un cantiere più sicuro”

 

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	19 novembre 2018 Gli autarchici (20 punti)

Spocchiosi e supponenti, i gruppi autarchici  guardano tutti dall’alto in basso. Prendete la collezione numerica A₃ = (5/2, 1, 1/2) e combinate i suoi elementi in somme e sottrazioni, tenendo fisso soltanto il numero maggiore (cioè 5/2). Otterrete un risultato sorprendentemente ordinato, vanto di A₃ e dei suoi altezzosi compagni.

Un gruppo autarchico più piccolo è A₃ = (3/2, 1/2) , che, superbo (nonostante la stazza), produce i seguenti interi:

In generale il gruppo autarchico A_n è una collezione ordinata di n numeri positivi che, combinati in somme e sottrazioni (mantenendo fisso soltanto l’elemento maggiore), generano un 1 e una serie di interi successivi, senza ripetizioni.

A voi il compito di trovare niente-di-meno-che il gruppo autarchico A₅.

Aiuto: è opportuno disporre gli elementi in ordine decrescente (cioè dal maggiore al minore). In questo modo i gruppi autarchici sfoggiano la seguente notevole proprietà: ogni numero è maggiore della somma dei successivi, cioè se A₅ = (a,b,c,d,e) , allora  a>(b+c+d+e) , b>(c+d+e) , c>(d+e) e  d>e.

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