enigmi (in concorso)

Undicesimo Enigma – MAGIE ALGEBRICHE

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11 marzo 2019

Magie algebriche

(20 punti)

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Tutti conoscono i semplici polinomi in una sola variabile, ma pochi di voi hanno avuto la fortuna di incrociare le loro controparti illimitate, le affascinanti serie di potenze: si tratta di somme algebriche composte da infiniti monomi. Per apprezzarle appieno conviene studiare gli esempi in basso: tutte le espressioni elencate contengono monomi ordinati per grado, a fianco di ciascuna è descritta la regola che definisce i suoi infiniti coefficienti.

  • Serie Geometrica G: 1 + x + x2 + x3 +… (tutti i coefficienti valgono 1)
  • Serie Geo-lineare L: 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +… (i coefficienti i naturali crescenti 1,2,3,4,..)
  • Serie Geo-quadratica Q: 1 + 4x + 9x2 + 16x3 +… (i coefficienti i quadrati successivi 1,4,9,16,..)

 

Inserendo al posto di  valori come 2 o anche pi greco, tutte e tre le serie “impazziscono” e restituiscono infinito. Per x=0 le tre serie sono invece tutte uguali a 1, mentre sostituendo a x la frazione ½ si ottengono i valori interi G=2, L=4 e Q=12 (per questo dovete fidarvi della Commissione). In generale e per ogni x per i quali le serie restituiscono numeri finiti, i valori G, L, Q sono legati da semplici relazioni algebriche, come mostrato in basso:

L e G sono legati dalla relazione L=G2

Dimostrazione:  Come si vede in basso, l’espressione G + Gx + Gx2 + Gx3 +… è uguale a 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +… e quindi a L. Del resto se nell’espressione G + Gx + Gx2 + Gx3 +… si raccoglie la G si ottiene G(1 + x + x2 + x3 +… ) cioè G*G. Resta così provato che L=G2

 

L’enigma è il seguente:

Trova una relazione algebrica che leghi Q,x e G

La soluzione è un’uguaglianza che può contenere soltanto le quattro operazioni fondamentali, l’elevamento a potenza e le lettere Q,G e x: sono quindi banditi altri simboli (come i puntini) e altre variabili. Andrebbe bene una risposta nella forma Q3=2x+G3-1 verrebbero invece rigettate soluzioni come Q=L5 (perché contiene la L) o x2G = G2 + G3 + … (per via dei puntini).

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

 

enigmi (in concorso)

Decimo Enigma – LA CROMOMATEMATICA

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25 febbraio 2019

La cromomatematica

 

(20 punti)

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L’Aritmetica vi sembra incolore, l’Algebra s’ammanta di grigio e la Logica è tutta “o bianco o nero”? Non vi perdete d’animo, la Cromomatematica vi farà cambiare idea! Considerate prima di tutto i seguenti assiomi:

  • Tutti i numeri naturali (dallo 0 in poi ) sono rossi, verdi o gialli
  • Nessun numero ha più di un colore
  • 2019 è un numero verde
  • La somma di due numeri verdi è un numero rosso
  • La somma di due numeri rossi è un numero verde
  • Due numeri gialli non possono essere consecutivi

Come ogni teoria che si rispetti, la Cromomatematica non vive di soli assiomi: fioccano le proposizioni, abbondando i teoremi, zampillano ovunque lemmi e corollari. Fra i tanti risultati ve n’è uno che riguarda il 1000, protagonista di questo iridescente Enigma:

La domanda è…

Di che colore è il mille?

Nota bene: la risposta al quesito è un colore (rosso, verde o giallo) o una breve frase.


Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

enigmi (in concorso)

Nono Enigma – ENIGMA DI RELIGIONE

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fascia RELIGIONE

11 febbraio 2019

Enigma di Religione

(20 punti)

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Codici indecifrabili, intrighi millenari, simbolismi criptici e profezie sepolte negli archivi … Se vi piacciono i arzigogoli più macchiavellici, gli intrichi più leonardeschi, i dilemmi più amletici, l’Enigma di Religione è ciò che fa per voi: un rompicapo teologico che soltanto il sommo biblista della commissione Enigma poteva ideare.

 

Usando l’antico calendario, in cui ogni mese ha trenta giorni,

profetizzò Daniele un tempo simbolico di molti giorni

che sarebbero trascorsi fino al giunger della nuova era

con la venuta del Messia.

All’arrivo del Messia dai cristiani fu trasposta l’antica profezia.

Or tu, del Majorana studente,

somma i giorni dal concepimento del Battista e quello di Gesù

aggiungendo i giorni dalla nascita a Betlemme del Messia

fino alla presentazione al tempio per la purificazione della puerpera (visiona Lv 12,1-4 senza includere gli 8 giorni della circoncisione del bambino)

… e il numero di giorni dell’antica profezia realizzato scorgerai…

… non ti resta che sommarlo alla numerazione degli eventi già citati

che la narrazione ha tramandato….

… e la cifra misteriosa avrai trovato

 

Nota bene: il numero richiesto non è intero. Scrivi nella soluzione le tre cifre della parte intera e le due cifre dopo la virgola


Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Ottavo Enigma – MAJORINO EQUIVICINO

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28 gennaio 2019

Majorino Equivicino

(20 punti)

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Come corre Majorino e con che grazia: la sua specialità è di mantenersi sempre alla stessa distanza fra due oggetti. Guardatelo filare dritto come un fuso fra due rette e fra due punti (figure 1 e 2) e ammiratelo mentre traccia con disinvoltura un arco di parabola fra un punto e una retta (figura 3).

Stampa Percorso fra due rette (bisettrice)
Stampa Percorso fra due punti (asse)
Stampa Percorso fra un punto e una retta

Rette e punti non sono che l’antipasto: Majorino dà il meglio di sé nello slalom, quando incontra oggetti a due dimensioni, dovendo così alternare tratti curvi e rettilinei. Prendete il caso rappresentato in basso:

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Quanti diversi tratti rettilinei sono contenuti nel percorso rappresentato in alto?

Nota bene: la risposta alla domanda è un numero o una breve frase: ricordo che è richiesto di contare soltanto i diversi tratti rettilinei (i tratti curvilinei non vanno conteggiati).

Avvertenza: non è possibile rispondere analizzando direttamente la traiettoria in figura, si tratta infatti di uno schizzo poco accurato. Il quadrato e il triangolo sono invece riportati con assoluta precisione in tutti i loro aspetti (forma, dimensione e posizione reciproca) e la griglia sullo sfondo permette di evitare qualsiasi ambiguità. Infine ricordo che, per definire la distanza fra un punto P e una figura geometrica f, si considera semplicemente il punto di f più vicino a P.

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Settimo Enigma – I POLIGIRI

 

 fascia-matematica
 

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14 gennaio 2019

I Poligiri

(20 punti)

 

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Esagono regolare, quadrato e triangolo equilatero sono nuclei di poligiri, cioè poligoni regolari intorno ai quali è possibile disporre una serie di altri poligoni, in modo da rispettare le seguenti tre semplici regole:

1 – Esiste un poligono interno ed è regolare

2 – I poligoni esterni sono tutti regolari e identici fra loro

3 – In ogni vertice del poligono interno insistono gli angoli di esattamente tre poligoni a coprire l’intero angolo giro (vedi disegno sottostante).

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Vediamo di seguito una collezione di 3 poligiri:

Stampa Poligiro 6 – 6

Esagono (6) circondato da esagoni (6)

Stampa Poligiro 4 – 8

quadrato (4) circondato da ottagoni (8)

Stampa Poligiro 3 – 12

triangolo (3) circondato da dodecagoni (12)

Esistono complessivamente quattro diversi poligiri e i primi tre sono rappresentati sopra.

Com’è fatto il quarto poligiro?

Riporta la soluzione nella forma XY, dove X è il numero dei lati del poligono interno e Y quello di uno dei poligoni esterni (che, ricordo, sono identici fra loro).

Per risolvere l’Enigma potrebbe essere utile conoscere il seguente teorema:

Siano x, y, A, B quattro numeri interi diversi da 0 e legati dall’equazione Ax=By. Se x e y non hanno divisori in comune (diversi da 1), allora sicuramente x è un divisore di B e y è un divisore di A.

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Sesto Enigma – UN TOTALE

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17 dicembre 2018

Un totale

(20 punti)

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Dato un insieme, considera tutti i suoi possibili sottoinsiemi e di questi calcola il prodotto degli elementi (l’esempio in basso riguarda l’insieme A). È importante osservare che il prodotto degli elementi dell’insieme vuoto (ultimo disegno in basso) è posto uguale a 0.

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Sommando ora tutti i prodotti calcolati sopra, si ottiene un numero detto Totale dell’insieme. Nel caso di A si ha 30+10+6+15+2+5+3+0=71 e quindi il Totale di A vale 71.

L’esempio mostrato ci permette di dare la definizione rigorosa:

Dato un insieme A, si chiama Totale di A  la somma dei prodotti degli elementi di tutti i sottoinsiemi di A (il prodotto degli elementi è 0 nel caso dell’insieme vuoto).

Quanto vale il Totale di {2,3,4,5,6,7,8,9,10}?

Nota bene: per rispondere alla domanda sarebbe folle eseguire tutti i calcoli previsti dalla definizione. L’insieme {2,3,4,5,6,7,8,9,10} ha infatti più di 500 sottoinsiemi e il Totale richiesto vale poco meno di 20 milioni.

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QUINTO ENIGMA – CAPUT FRACTUM (PER UN CANTIERE PIÙ SICURO)

 

 fascia latino 

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3 dicembre 2018

Caput fractum

“Per un cantiere più sicuro”

(20 punti)

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Giunti al quinto Enigma, è tempo di rinnovare la tradizione del Caput fractum, il famigerato rebus latino-italiano. Le regole sono più che note: gli oggetti, le azioni o i concetti descritti nei riquadri, letti da sinistra verso destra, vanno scritti in latino e poi riuniti a formare una frase in italiano. Per chi avesse dei dubbi, in basso è mostrato un esempio: “so” + VENTER + ”ussa” diventa SOVENTE RUSSA (la coppia 7, 5 sta a indicare il numero di lettere delle parole della soluzione, mentre la frase “Quando dorme” è un indizio sulla frase risultante).

coltivo

Capite le regole, non resta che cimentarsi con il rompicapo vero e proprio:

REBUS 9, 2, 5, 10 – “Per un cantiere più sicuro”

coltivo

 

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