enigmi (in concorso)

Sesto Enigma – UN TOTALE

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17 dicembre 2018

Un totale

(20 punti)

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Dato un insieme, considera tutti i suoi possibili sottoinsiemi e di questi calcola il prodotto degli elementi (l’esempio in basso riguarda l’insieme A). È importante osservare che il prodotto degli elementi dell’insieme vuoto (ultimo disegno in basso) è posto uguale a 0.

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Sommando ora tutti i prodotti calcolati sopra, si ottiene un numero detto Totale dell’insieme. Nel caso di A si ha 30+10+6+15+2+5+3+0=71 e quindi il Totale di A vale 71.

L’esempio mostrato ci permette di dare la definizione rigorosa:

Dato un insieme A, si chiama Totale di A  la somma dei prodotti degli elementi di tutti i sottoinsiemi di A (il prodotto degli elementi è 0 nel caso dell’insieme vuoto).

Quanto vale il Totale di {2,3,4,5,6,7,8,9,10}?

Nota bene: per rispondere alla domanda sarebbe folle eseguire tutti i calcoli previsti dalla definizione. L’insieme {2,3,4,5,6,7,8,9,10} ha infatti più di 500 sottoinsiemi e il Totale richiesto vale poco meno di 20 milioni.

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

enigmi (in concorso)

QUINTO ENIGMA – CAPUT FRACTUM (PER UN CANTIERE PIÙ SICURO)

 

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3 dicembre 2018

Caput fractum

“Per un cantiere più sicuro”

(20 punti)

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Giunti al quinto Enigma, è tempo di rinnovare la tradizione del Caput fractum, il famigerato rebus latino-italiano. Le regole sono più che note: gli oggetti, le azioni o i concetti descritti nei riquadri, letti da sinistra verso destra, vanno scritti in latino e poi riuniti a formare una frase in italiano. Per chi avesse dei dubbi, in basso è mostrato un esempio: “so” + VENTER + ”ussa” diventa SOVENTE RUSSA (la coppia 7, 5 sta a indicare il numero di lettere delle parole della soluzione, mentre la frase “Quando dorme” è un indizio sulla frase risultante).

coltivo

Capite le regole, non resta che cimentarsi con il rompicapo vero e proprio:

REBUS 9, 2, 5, 10 – “Per un cantiere più sicuro”

coltivo

 

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Al primo risolutore 20 punti-sfinge, un contrassegno per la classe e un libro scelto dalla saggia commissione.

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Quarto Enigma – GLI AUTARCHICI

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19 novembre 2018

Gli autarchici

(20 punti)

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Spocchiosi e supponenti, i gruppi autarchici  guardano tutti dall’alto in basso. Prendete la collezione numerica A3 = (5/2, 1, 1/2) e combinate i suoi elementi in somme e sottrazioni, tenendo fisso soltanto il numero maggiore (cioè 5/2). Otterrete un risultato sorprendentemente ordinato, vanto di A3 e dei suoi altezzosi compagni.

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Un gruppo autarchico più piccolo è A3 = (3/2, 1/2) , che, superbo (nonostante la stazza), produce i seguenti interi:

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In generale il gruppo autarchico An è una collezione ordinata di n numeri positivi che, combinati in somme e sottrazioni (mantenendo fisso soltanto l’elemento maggiore), generano un 1 e una serie di interi successivi, senza ripetizioni.

A voi il compito di trovare niente-di-meno-che il gruppo autarchico A5.

Aiuto: è opportuno disporre gli elementi in ordine decrescente (cioè dal maggiore al minore). In questo modo i gruppi autarchici sfoggiano la seguente notevole proprietà: ogni numero è maggiore della somma dei successivi, cioè se A5 = (a,b,c,d,e) , allora  a>(b+c+d+e) , b>(c+d+e) , c>(d+e) e  d>e.

Se pensi aver trovato la risposta, compila il modello e consegnalo, in modo che vengano registrate data e ora della consegna.

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Terzo Enigma – IL FIORE DEL MAJORANA

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29 ottobre 2018

Il fiore del Majorana

(20 punti)

 

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Ammirate le tre figure colorate in basso con le lettere P, S, R a indicare le rispettive aree.


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P = area del pentagono di lato 1

 

 


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S = area della stella contenuta nel pentagono precedente

 

 


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R = area del pentagono contenuto nella stella precedente

 

 


 

Circonferenze, intersezioni e pollice verde permettono di ingentilire tutti i pentagoni e le stelle, e creare il magnifico fiore del Majorana, vanto del giardino matematico della scuola.

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Come si vede, il fiore del Majorana è delimitato dagli archi di cinque circonferenze di raggio 1, centrate nei vertici del primo pentagono regolare mostrato nell’introduzione.

Trova una formula che permetta di calcolare l’area del fiore in funzione di P, S, R (presta attenzione alle indicazioni sottostanti).

La soluzione è un’espressione che può contenere, oltre alle lettere P, S, R, numeri di qualsiasi genere come ad esempio π, √2, 3/2,… Una risposta formalmente ricevibile potrebbe essere πR-(S+P)*√7, mentre un’espressione del tipo 2(P+S+R)-3x  verrebbe immediatamente rigettata (per la presenza della lettera “misteriosa” x).

 

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Secondo Enigma – REBUS INGLESE – ITALIANO

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15 ottobre 2018

Rebus Inglese – Italiano

(20 punti)

 

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rebus-esempio-nerobiancoPer il secondo indovinello dell’anno, la commissione Enigma rispolvera il Rebus angloitaliano: le parole raffigurate sono in inglese, la frase risultante in italiano. Per chi avesse dei dubbi, a fianco è mostrato un esempio chiarificatore: SALT+OIL+PAST+”o” e quindi la soluzione SALTO IL PASTO.

Se avete capito le regole, è ora di cimentarvi con il rompicapo in basso: un occhio all’italiano, un occhio all’inglese e il terzo occhio al codice della strada. E ricordate: “scripta manent”!

REBUS (5,5,1,6,5)

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Primo Enigma – LA PALLINA INTRUSA

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1 ottobre 2018

La pallina intrusa

(20 punti)

 

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Immaginate di avere a disposizione una bilancia a due bracci, nove palline identiche fra loro e poi una decima, impercettibilmente più pesante delle altre: come mostrato in basso, con sole tre pesate è possibile trovare l’intrusa sovrappeso (considerate inoltre che la strategia presentata non è l’unica possibile)

PRIMA PESATA – 5 palline su un piatto e 5 sull’altro (con questa pesata il numero delle possibilità si riduce sempre a 5).

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SECONDA PESATA – Si prende in prestito una pallina delle 5 scartate prima e poi si dispongono 3 palline per piatto (dopo la pesata il numero di possibilità si ridurrà a 3).

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TERZA PESATA – Delle tre palline da analizzare, se ne mette una sul piatto di sinistra e una sul piatto di destra (quella scartata non si pesa affatto) (con questa pesata sarà sempre possibile trovare l’intrusa, in caso di equilibrio si tratta proprio della pallina scartata).

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Ebbene, risolta la questione delle 10 palline, si potrebbe aggiungerne una e poi un’altra ancora e vedere fino a quando il problema ha una soluzione generale. Ed eccovi servito l’Enigma:

 

Quale è il numero massimo di palline per il quale è sempre possibile scovare l’intrusa con tre pesate?

 

Nota bene: il numero di palline comprende anche la pallina più pesante. Il caso illustrato in alto rappresentava infatti il problema “delle 10 palline” (nove più l’intrusa).

 

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Ultimo ENIGMA – Il tavolo tre e quattordici

 

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19 marzo 2018

Il tavolo tre e quattordici

(20 punti)

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In basso  è rappresentato un tavolo da biliardo con quattro buche agli angoli (A,B,C,D) e un rapporto di forma di 1,5.

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Disponendo una biglia davanti alla buca B e colpendola con un’inclinazione di 45° (vedi figura in basso a sinistra), dopo 3 sponde essa finirà in C (a destra la sequenza con tutte le sponde colpite)

 

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Anche l’Enigma vero e proprio prevede la buca di lancio in B e un colpo inziale con un’inclinazione 45°. Stavolta però si gioca sul celebre tavolo da biliardo del Majorana, che, come tutti sapranno, ha un rapporto di forma di 3,14 (vedi in basso).

 

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Il quesito si compone di due domande:

In quale buca finirà la biglia e dopo quante sponde?

 

Nota bene

  • Nel problema si assume che tutti gli enti siano puntiformi: perché una biglia entri in buca è necessario che essa centri l’apertura con precisione assoluta.
  • Per il calcolo del numero di sponde considera che ogni lato verrà colpito più volte: bisognerà conteggiare ogni singolo urto. Non vanno invece considerati il colpo iniziale e la buca finale.

 

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